Soul Conjecture

星期三，台湾中正大学的校长吴志扬来南大做了演讲。原定的题目是《时空中的牛顿方程》，因考虑到避免演讲太过专业化，能够让更多的人接受，将题目改成了《几何发展简史》，吴志扬正是拓扑与微分几何方面的专家。

吴志扬根据自己多年对几何的思考选出了人类历史上几何学发展的十件大事，并说明了为什么这十件事是重要的。

1. 毕达哥拉斯定理（勾股定理）：这个定理的诞生标志着人类有了方向的概念，向东走3步，再向南走4步，等于转一个角度走5步。吴教授说任何一个民族，如果不 能理解这个定理（是不是本民族发现的倒不重要）就不可能有真正的文明，中国人懂这个定理，埃及人也懂这个定理，否则他们造不出金字塔。

2. 阿基米德测球的体积。还有中国人也发现的一个定理，就是两个物体，无论形状是否相同，只要每个横截面的面积和高度都一样，那么它们的体积就相同。阿基米德很会计算物体的面积和体积，这是因为他当时已经会求一些简单的无穷级数了。

3. 笛卡尔的坐标系。从数学的角度来说，坐标系的发明使得几何问题可以代数化，由此推出了Galois理论，再进一步就是代数几何。同时，吴志扬还认为这是现代西方国家拥有高度文明并领先东方的基础。

4. Newton和Leibniz发明微积分，以及力学理论的建立，万有引力定律的发现。在这之前，人类虽然会计算诸如圆和矩形的面积，但对不规则的几何体则束手无策，微积分发明后，不规则的图形面积也可以计算了。

5. Gauss和Riemann的贡献。其实是从更深的层次来看待几何：Gauss Theorema Egregium（高斯优美定理）。吴教授说，在高斯之前，人类认为自己所处的空间毫无疑问是标准的3维欧氏空间，但是高斯告诉人们，这是不一定的，需要 计算才能知道。与之相关的一个原理就是：Gauss Curvature is intrinsic. 高斯和黎曼的工作是重大的进步，人类开始学会从外在和内在这两个不同的角度研究物体或空间的几何性质。再举一个例子就是，不要以为在球面上活动的蚂蚁只能 感受到平坦的二维世界，实际上球面的高斯曲率是内蕴的，因此无论是在三维空间中的人类还是球面上的蚂蚁都能感知（也许要通过计算）。

6. Poincare关于向平面和基本群的工作。之所以重要，是因为他告诉人们：从不同的观点看问题。比如想要研究一个空间的性质，那么就找一个简单的图形比 如单位圆，同胚到这个空间里，看看是什么样的。直接研究有困难，那么就采取间接的办法。物理学家研究粒子时，用中子撞击，看有什么反应，其实也是这个道 理。

7. Ricci关于张量分析的工作，其实是建立了弯曲空间上的微积分。

8. Einstein的广义相对论，吴志扬认为这个领域还非常广阔，虽然Einstein开创的这个理论很了不起，但是这么多年来，并没有太多重大的后续工作出现，他也勉励我们如果感兴趣，可以试试这一方向。

9. Cartan-Chern的工作。如果写微分几何方面的书，那么就一定要提到这两个人，这也是中华民族的骄傲。Cartan和Chern的工作告诉我们， 无论是做研究还是观察，正面进攻有难度，可以选择dual的角度，往往直接解决一个问题很困难，但对偶过去就很容易。

10. Mandelbrot的分形几何。这也是吴教授提到的唯一创立者还在世的重大工作。分形几何是一种不同scale的几何，放大一些看或者缩小一些看，都有相似的形状。这就带来一个问题，长江的边界到底在哪里？这就要看不同的人所选择的不同scale。

吴志扬教授一再声明这只是他个人的观点，也许不太高明，而且因为他所处的年代，选择的近期工作很多，再过100年做一个选择，选10件重大突破，也 许又是另一种情形。吴志扬教授还提出了他认为目前比较空白，可以大有作为的几个领域，除了之前说的广义相对论，随机概念和几何的关系；digital geometry也需要人们去研究。

因为演讲在座的大多是青年学生，吴教授不仅谈数学，也通过数学谈人生。他说：也许你去做一个很hard的问题，做出来就很容易出名，但是将来人们写 书的时候能不能写到你？就好比一个坑已经挖的很deep，下面很硬，你又向下挖了一点点，然后说自己是世界上做的最deep的人，但是在地面上的人能看到 你吗？所以，为什么不从地面开始，自己来挖一个坑呢，也许将来也可以和其它的坑一样deep。如果选择一条别人没走过的路，可能就发现了一座大山，但是肯 定也有迷失在山中的危险，这就牵涉到人生选择的问题，是选择一种easy life，还是和别人不一样的路？中大的学生，台大的学生，南大的学生都是华人中非常优秀的青年，应该有一些人有勇气去走不一样的路。

最近在学微分拓扑，同时分析课上老师讲了拓扑群，让我感觉几何和代数的联系真是无处不在。用几何的方法证明代数基本定理已经不是什么新鲜事了，但是细细品味还是觉得很有意思。

代数基本定理是说任何一个不为常值的复多项式一定具有一个零点。下面就来看看如何从几何的角度来考虑这个问题。

为了证明这个命题，首先把复平面转化成一个紧的流形。流形是这样一种空间，它的任何局部都可以看作是一个欧式空间，而紧流形就是说，如果我们用很多片区域将整个流形覆盖住，那么实际上只需要这其中有限片就够了。考虑3维欧式空间中单位球（半径为1）的表面，记为，做一个stereographic projection:

即从“北极点”（坐标是）将球面投影到赤道平面上，“北极点”实际上被投影到无穷远处。我们将赤道平面看作是复平面。多项式是将映到自身的映射，它对应于球面的一个自映射，其中

可以证明映射是光滑的（详细说明可参见Milnor的Topology from the Differentiable Viewpoint）。所谓映射光滑是说可以无限次求偏导，当然它的各阶偏导数是连续的。

因为的导数只在有限个点等于零，所以根据逆函数定理，映射在球面上除去这有限个点后剩下的连通集在每一点都是一个微分同胚（两个空间同胚的概念简单来说就是可以将它们看作是相同的）。逆函数定理是很重要的，因为它给出了同胚和微分算子之间的关系：映射在某点的偏导数不为零，那么在包含这个点的很小的区域内就是一个同胚。现在我们可以得到结论，是一个满射，从而多项式一定含有一个零点。

下面再简单说一说拓扑群和球面上平凡丛的问题，这些都可以看作是几何与代数的深刻联系，叙述它们的时候，所用的语言可能不是那么通俗。

拓扑群就是在群这样一个代数结构上赋予拓扑而成为一个拓扑空间，其实我们熟悉的欧式空间和一般线性空间都可以看作是最简单的拓扑群的例子。有关拓扑群的一个重要性质就是它的平移不变性：拓扑群中的任何一个开集经过平移后仍然是开集。通过Riesz表示定理可以证明在拓扑群上存在一个平移不变的测度（集合经过平移后测度保持不变），叫作Haar测度。我们熟悉的Lebesgue测度也是平移不变的，实际上，从代数的角度来考虑，Haar测度和Lebesgue测度都是在某种群作用下保持不变的测度。

球面上的平凡丛问题曾经是一个很著名的猜想，这个猜想是说n维球面的切丛（实际上就是切空间）是平凡丛当且仅当。Adams在1960年证明了这个猜想。解释一下什么叫作向量丛，向量丛是指在一个流形的每一点赋予一个线性空间的结构，流形连同这些线性空间的结构就是向量丛，最简单的向量丛叫作平凡丛，它的线性结构就是一个欧式空间的局部。人们除了证明球面上平凡丛的猜想以外还发现了这个问题和代数的深刻联系：如果存在一个n维可除代数，那么n-1维球面的切丛就是平凡的。反之亦然。

完成了学士毕业论文，关于动力系统中周期线性系统的约化问题。感兴趣的朋友可以在这里下载。

下载链接

由我之前在gezhi里提到的Floquet定理可以得到这样的结果：对于一个T周期的实系统
可以通过2T周期的实变量代换将系统约化成常系数的实系统
但有的时候，我们需要通过T周期的实变量代换将系统约化。这在理论上是一个比较难的问题，至今没有办法对任意的系统进行这样的操作，我的本科毕业论文是讨论在如下一类情况下，如何做这样的约化。

定理：考虑方程，其中A是n阶实常数矩阵，特征值为，是中的T周期矩阵。假设
(1)令，，在上解析,
(2)，由周期系统的性质，存在正数使得,
那么，当充分小且时，实系统可以通过T周期的实变换约化为实常数系统。

可见，在对实的常系数系统做T周期的小扰动时，存在一个T周期实变换将系统约化。这个命题的证明主要是运用了迭代思想，我将在以后大致进行说明，迭代思想在动力系统中非常关键，比如重要的KAM理论。

线性周期系统当中最重要的定理就是 Floquet 定理。这个定理的意思是一个具有周期系数的线性常微分方程可以通过约化成为一个常系数的常微分方程。考虑方程：
，其中A(t)关于t是T周期的。
首先可以证明对于方程的一个基解矩阵，也是方程的基解矩阵，于是存在一个常矩阵C满足，而且C可以表示成，B是一个常数矩阵。
令，易知P(t)是T周期的。
下面做变量代换x=P(t)y，并将x代入原方程即可得到
至此，就将周期系数的线性方程约化为常系数方程。

Floquet 定理具有非常重要的意义，因为它的高度概括性，使得它能应用在自然科学的很多领域，据我所知量子力学当中有这样一个结论：电子在一类周期势中运动时，其定态波函数总可以表示成一个平面波乘以适当的与势同周期的周期函数。在 Floquet 定理中正是。此外，在传染病模型等很多领域，都可以看到 Floquet 定理。

我的本科毕业论文正是关于 Floquet 定理，我所要研究的问题就是寻找一些普遍的情况，使得在这些情况下对于实系统可以找到实的T周期变换x=P(t)y（而这在一般情况下是不能满足的）。