Soul Conjecture

最近在学微分拓扑，同时分析课上老师讲了拓扑群，让我感觉几何和代数的联系真是无处不在。用几何的方法证明代数基本定理已经不是什么新鲜事了，但是细细品味还是觉得很有意思。

代数基本定理是说任何一个不为常值的复多项式一定具有一个零点。下面就来看看如何从几何的角度来考虑这个问题。

为了证明这个命题，首先把复平面转化成一个紧的流形。流形是这样一种空间，它的任何局部都可以看作是一个欧式空间，而紧流形就是说，如果我们用很多片区域将整个流形覆盖住，那么实际上只需要这其中有限片就够了。考虑3维欧式空间中单位球（半径为1）的表面，记为，做一个stereographic projection:

即从“北极点”（坐标是）将球面投影到赤道平面上，“北极点”实际上被投影到无穷远处。我们将赤道平面看作是复平面。多项式是将映到自身的映射，它对应于球面的一个自映射，其中

可以证明映射是光滑的（详细说明可参见Milnor的Topology from the Differentiable Viewpoint）。所谓映射光滑是说可以无限次求偏导，当然它的各阶偏导数是连续的。

因为的导数只在有限个点等于零，所以根据逆函数定理，映射在球面上除去这有限个点后剩下的连通集在每一点都是一个微分同胚（两个空间同胚的概念简单来说就是可以将它们看作是相同的）。逆函数定理是很重要的，因为它给出了同胚和微分算子之间的关系：映射在某点的偏导数不为零，那么在包含这个点的很小的区域内就是一个同胚。现在我们可以得到结论，是一个满射，从而多项式一定含有一个零点。

下面再简单说一说拓扑群和球面上平凡丛的问题，这些都可以看作是几何与代数的深刻联系，叙述它们的时候，所用的语言可能不是那么通俗。

拓扑群就是在群这样一个代数结构上赋予拓扑而成为一个拓扑空间，其实我们熟悉的欧式空间和一般线性空间都可以看作是最简单的拓扑群的例子。有关拓扑群的一个重要性质就是它的平移不变性：拓扑群中的任何一个开集经过平移后仍然是开集。通过Riesz表示定理可以证明在拓扑群上存在一个平移不变的测度（集合经过平移后测度保持不变），叫作Haar测度。我们熟悉的Lebesgue测度也是平移不变的，实际上，从代数的角度来考虑，Haar测度和Lebesgue测度都是在某种群作用下保持不变的测度。

球面上的平凡丛问题曾经是一个很著名的猜想，这个猜想是说n维球面的切丛（实际上就是切空间）是平凡丛当且仅当。Adams在1960年证明了这个猜想。解释一下什么叫作向量丛，向量丛是指在一个流形的每一点赋予一个线性空间的结构，流形连同这些线性空间的结构就是向量丛，最简单的向量丛叫作平凡丛，它的线性结构就是一个欧式空间的局部。人们除了证明球面上平凡丛的猜想以外还发现了这个问题和代数的深刻联系：如果存在一个n维可除代数，那么n-1维球面的切丛就是平凡的。反之亦然。