Soul Conjecture

在李淼老师那里看到这个图，挺有意思的。

图中的女士在有些人眼里是逆时针旋转，有些是顺时针旋转。据说看到逆时针的左半脑比较活跃，而看到顺时针的则是右半脑更活跃。大多数人看到逆时针。

左半脑活跃的特点是：善于观察细节，逻辑性强，语言能力强，易于接受图像，制定策略，现实，喜欢安全感。

右半脑活跃的特点是：看到事情的整体图像，想像力好，喜欢梦想，哲学化和宗教化，有空间想像力，大胆。

至于我本人，一开始看到的是逆时针旋转，转换一下思维方式之后（我认为转换的是思维方式而不是观察方式），就可以看到顺时针旋转。另外，每次第一眼 看到的都无一例外是逆时针。这是不是说明我的左半脑更活跃一些，右半脑的活跃程度也还可以，呵呵。这样应该还是比较理想吧，平时以理性，踏实为主，需要想 像力的时候也能达到。

最近在学微分拓扑，同时分析课上老师讲了拓扑群，让我感觉几何和代数的联系真是无处不在。用几何的方法证明代数基本定理已经不是什么新鲜事了，但是细细品味还是觉得很有意思。

代数基本定理是说任何一个不为常值的复多项式一定具有一个零点。下面就来看看如何从几何的角度来考虑这个问题。

为了证明这个命题，首先把复平面转化成一个紧的流形。流形是这样一种空间，它的任何局部都可以看作是一个欧式空间，而紧流形就是说，如果我们用很多片区域将整个流形覆盖住，那么实际上只需要这其中有限片就够了。考虑3维欧式空间中单位球（半径为1）的表面，记为，做一个stereographic projection:

即从“北极点”（坐标是）将球面投影到赤道平面上，“北极点”实际上被投影到无穷远处。我们将赤道平面看作是复平面。多项式是将映到自身的映射，它对应于球面的一个自映射，其中

可以证明映射是光滑的（详细说明可参见Milnor的Topology from the Differentiable Viewpoint）。所谓映射光滑是说可以无限次求偏导，当然它的各阶偏导数是连续的。

因为的导数只在有限个点等于零，所以根据逆函数定理，映射在球面上除去这有限个点后剩下的连通集在每一点都是一个微分同胚（两个空间同胚的概念简单来说就是可以将它们看作是相同的）。逆函数定理是很重要的，因为它给出了同胚和微分算子之间的关系：映射在某点的偏导数不为零，那么在包含这个点的很小的区域内就是一个同胚。现在我们可以得到结论，是一个满射，从而多项式一定含有一个零点。

下面再简单说一说拓扑群和球面上平凡丛的问题，这些都可以看作是几何与代数的深刻联系，叙述它们的时候，所用的语言可能不是那么通俗。

拓扑群就是在群这样一个代数结构上赋予拓扑而成为一个拓扑空间，其实我们熟悉的欧式空间和一般线性空间都可以看作是最简单的拓扑群的例子。有关拓扑群的一个重要性质就是它的平移不变性：拓扑群中的任何一个开集经过平移后仍然是开集。通过Riesz表示定理可以证明在拓扑群上存在一个平移不变的测度（集合经过平移后测度保持不变），叫作Haar测度。我们熟悉的Lebesgue测度也是平移不变的，实际上，从代数的角度来考虑，Haar测度和Lebesgue测度都是在某种群作用下保持不变的测度。

球面上的平凡丛问题曾经是一个很著名的猜想，这个猜想是说n维球面的切丛（实际上就是切空间）是平凡丛当且仅当。Adams在1960年证明了这个猜想。解释一下什么叫作向量丛，向量丛是指在一个流形的每一点赋予一个线性空间的结构，流形连同这些线性空间的结构就是向量丛，最简单的向量丛叫作平凡丛，它的线性结构就是一个欧式空间的局部。人们除了证明球面上平凡丛的猜想以外还发现了这个问题和代数的深刻联系：如果存在一个n维可除代数，那么n-1维球面的切丛就是平凡的。反之亦然。

今天把原来在iyublog的文章都转过来了。现在转一篇老帖做为开篇吧～ 

Steven Weinberg 现在得克萨斯大学物理系。本文以他 2003年6月在麦克基尔大学科学大会上的讲话为基础。

　　当我得到大学学位的时候，那是百八十年前的事了。物理文献在我眼里就象一个未经探索的汪洋大海，我必须在勘测了它的每一个部分之后才能开始自己的研究。做任何事情之前怎么能不先了解所有已经做过了的工作呢？万幸的是，在我做研究生的第一年，我碰到了一些资深的物理学家，他们不顾我忧心忡忡的反对，坚持我应该开始进行研究，而在研究的过程中学习所需的东西。这可是生死悠关的事。我惊讶地发现他们的意见是可行的。我设法很快就拿到了一个博士学位。虽然我拿到博士学位时对物理学还几乎是一无所知。不过，我的确得到了一个很大的教益：没有人了解所有的知识，你也不必。
　　
　　另一个忠告就是，如果继续用我的海洋学的比喻的话，当你在大海中搏击而不是沉没时，应该到波涛汹涌的地方去。19世纪60年代末，我在麻省理工大学教书时，一个学生找我说，他想去做广义相对论领域的研究，而不愿意做我所在的领域——“基本粒子物理学”方向的研究，原因是前者的原理已经很清楚，而后者在他看来则是一团乱麻。而在我看来这正是做相反决定的绝好理由。粒子物理学是一个还可以做创造性工作的领域。它在那个时候的确是乱麻一团，但是，从那时起，许多理论物理学家、实验物理学家的工作把这团乱麻梳理出来，将所有的（嗯，几乎所有的）知识纳入一个叫做标准模型的美丽的理论之中。我的忠告是：到混乱的地方去，那里才是行动所在的地方。
　　
　　我的第三个忠告可能是最难被接受的。这就是要原谅自己虚掷时光。要求学生们解决的问题都是教授们知道可以得到解决的问题（除非教授非常地残酷）。而且，这些问题在科学上是否重要是无关紧要的，必须解决他们以通过考试。但是在现实生活中，知道哪些问题重要是非常困难的，而且在历史某一特定时刻你根本无从知道某个问题是否有解。二十世纪初，几个重要的物理学家，包括 Lorentz 和 Abraham, 想创立一种电子理论。部分原因是为了理解为什么探测地球相对以太运动的所有尝试都失败了。我们现在知道，他们研究的问题不对。在当时，没有人能够创立一个成功的电子理论，因为量子力学尚未发现。需要到1905年，天才的爱因斯坦认识到正确的问题是运动在时间空间测量上的效应。沿着这条路线，他创立了相对论。因为你总也不能肯定哪个才是要研究的正确问题，你在实验室里，在书桌前的大部分时间是会虚掷的。如果你想要有创制性，你就必须习惯于大量时间不是创造性的，习惯于在科学知识的海洋上停滞不前。
　　
　　最后，学一点科学史，起码你所研究的学科的历史。至少学习科学史可能在你自己的科学研究中有点用。比如，科学家会不时因相信从培根到库恩、玻普这些哲学家所提出的过分简化的科学模型而受到桎梏。科学史的知识是科学哲学的最好解毒剂。
　　　　　　
　　更重要的是，科学史的知识可以使你觉得自己的工作更有意义。作为一个科学家，你很可能不会太富裕，你的朋友和亲人可能也不理解你正在做的事情。而如果你研究的是象基本粒子物理学这样的领域，你甚至没有是在从事一种马上就有用的工作所带来的满足。但是，认识到你进行的科学工作是历史的一部分则可以给你带来极大的满足。
　　　　　　
　　看看100年前，1903年。谁是1903年大英帝国的首相、谁是1903年美利坚合众国的总统在现在看来有多重要呢？真正凸现出重要性的是1903年Ernest Rutherford 和Frederick Soddy 在McGill 大学揭示了放射性的本质。这一工作（当然！）有实际的应用，但更加重要的是其文化含义。对放射性的理解使物理学家能够解释为什么几百万年以后太阳和地心仍是滚烫的。这样，就清除了许多地质学家和古生物学家认为地球和太阳存在了很长年代的最后一个科学上的障碍。从此以后，基督教徒和犹太教徒就不得不或者放弃圣经的直接真理性或者放弃理性。这只是从加利略到牛顿、达尔文，直到现在削弱宗教教条主义桎梏的一系列步伐中的一步。只要读读今天的任何一张报纸，你都会知道这一工作还没有完成。但是，这是一个文明化的工作，对这一工作科学家是可以感到骄傲的。