Soul Conjecture

周期线性系统的约化问题

由我之前在gezhi里提到的Floquet定理可以得到这样的结果：对于一个T周期的实系统 $\dot x=A(t)x$
可以通过2T周期的实变量代换 $x=p(t)y$ 将系统约化成常系数的实系统 $\dot x=Bx$
但有的时候，我们需要通过T周期的实变量代换将系统约化。这在理论上是一个比较难的问题，至今没有办法对任意的系统进行这样的操作，我的本科毕业论文是讨论在如下一类情况下，如何做这样的约化。

定理：考虑方程 $\dot x=(A+\varepsilon Q(t))x, \varepsilon\in(0,\varepsilon_0), x\in\mathbf R^n$ ，其中A是n阶实常数矩阵，特征值为 $\lambda_1, ..., \lambda_n$ ， $Q(t)$ 是 $\mathbf R^{n\times n}$ 中的T周期矩阵。假设
(1)令 $Q(t)=F(\omega t)=F(\theta)$ ， $\omega=\frac{2\pi}{T}$ ， $F(\theta)$ 在 $D_{\rho}=\{\rho||Im \theta|\leq\rho\}$ 上解析,
(2) $|\lambda_i-\lambda_j-\frac{2k\pi}{T}\sqrt{-1}|\neq 0, \forall k\neq 0$ ，由周期系统的性质，存在正数 $\delta$ 使得 $|\lambda_i-\lambda_j-\frac{2k\pi}{T}\sqrt{-1}|>2\delta, \forall k\neq 0$ ,
那么，当 $\varepsilon_0$ 充分小且 $\varepsilon\in(0, \varepsilon_0)$ 时，实系统 $\dot x=(A+\varepsilon Q(t))x$ 可以通过T周期的实变换约化为实常数系统 $\dot y=By$ 。